上手く行かなかった原因が、コードを紙に印刷して整理したら判明した。
原因は頭を落としていなかったこと。つまり
>tehai=tehai/Prime[atama]**2
の一行を入れ忘れていたこと。

オンラインだとタイムアウトしてしまったのでローカルで動かした結果、

C:\ruby>mentin13.rb
"3,1,1,1,1,1,1,1,3"
30276

つまり13面待ちになるのは純正九蓮宝燈の形のみ。
伊達にダブル役満じゃないね。

完成コードは以下の通り。本当はアガリ判定に七対子も入れないといけないんだけど今回は結果に影響が無いので割愛した。

# Your code here!
Prime=[1,2,3,5,7,11,13,17,19,23]
t=0
for a in 0..3
for b in 0..3
for c in 0..3
for d in 0..3
if a+b+c+d<1 then;emin=1;else;emin=0;end
if a+b+c+d>10 then;emax=13-a-b-c-d;else;emax=3;end

for e in emin..emax
if a+b+c+d+e<4 then;fmin=4-a-b-c-d-e;else;fmin=0;end
if a+b+c+d+e>10 then;fmax=13-a-b-c-d-e;else;fmax=3;end

for f in fmin..fmax
if a+b+c+d+e+f<7 then;gmin=7-a-b-c-d-e-f;else;gmin=0;end
if a+b+c+d+e+f>10 then;gmax=13-a-b-c-d-e-f;else;gmax=3;end

for g in gmin..gmax
if a+b+c+d+e+f+g<10 then;hmin=10-a-b-c-d-e-f-g;else;hmin=0;end
if a+b+c+d+e+f+g>10 then;hmax=13-a-b-c-d-e-f-g;else;hmax=3;end

for h in hmin..hmax
i=13-a-b-c-d-e-f-g-h
t+=1

machi=1

for tumo in 1..9
agari=0

for atama in 1..9
tehai=2**a*3**b*5**c*7**d*11**e*13**f*17**g*19**h*23**i*Prime[tumo]
#if t%1000==0 then;p "#{t},#{tehai}";end

if tehai%Prime[atama]**2==0 then
tehai=tehai/Prime[atama]**2
if tehai%8==0 then;tehai=tehai/8;end
if tehai%30==0 then;tehai=tehai/30;end
if tehai%30==0 then;tehai=tehai/30;end
if tehai%27==0 then;tehai=tehai/27;end
if tehai%105==0 then;tehai=tehai/105;end
if tehai%105==0 then;tehai=tehai/105;end
if tehai%125==0 then;tehai=tehai/125;end
if tehai%385==0 then;tehai=tehai/385;end
if tehai%385==0 then;tehai=tehai/385;end
if tehai%343==0 then;tehai=tehai/343;end
if tehai%1001==0 then;tehai=tehai/1001;end
if tehai%1001==0 then;tehai=tehai/1001;end
if tehai%1331==0 then;tehai=tehai/1331;end
if tehai%2431==0 then;tehai=tehai/2431;end
if tehai%2431==0 then;tehai=tehai/2431;end
if tehai%2197==0 then;tehai=tehai/2197;end
if tehai%4199==0 then;tehai=tehai/4199;end
if tehai%4199==0 then;tehai=tehai/4199;end
if tehai%4913==0 then;tehai=tehai/4913;end
if tehai%7429==0 then;tehai=tehai/7429;end
if tehai%7429==0 then;tehai=tehai/7429;end
if tehai%6859==0 then;tehai=tehai/6859;end
if tehai%12167==0 then;tehai=tehai/12167;end
if tehai==1 then;agari=1;else;agari=0;end
end

if agari==1 then;break;end
end #for atama

if agari==1 then;machi=machi*Prime[tumo];end
end #for tumo

if machi==223092870 then;p "#{a},#{b},#{c},#{d},#{e},#{f},#{g},#{h},#{i}";end

end
end
end
end
end
end
end
end
p t